Оцінки зростання максимального члена та центрального показника похідної ряду Діріхле

Abstract

Нехай A ∈ ( − ∞ , + ∞ ] , Φ : [ a , A ) → R

− довільна неперервна функція така, що x σ − Φ ( σ ) → − ∞ , σ ↑ A , для кожного x ∈ R , ˜ Φ ( x ) = max { x σ − Φ ( σ ) : σ ∈ [ a , A ) }

− функція, спряжена з Φ за Юнгом, ¯¯¯¯ Φ ( x ) = ˜ Φ ( x ) / x і Γ ( x ) = ( ˜ Φ ( x ) − ln x ) / x для всіх достатньо великих x , ( λ n )

− невід'ємна зростаюча до + ∞ послідовність, а F ( s ) = ∞ ∑ n = 0

a n e s λ n

− ряд Діріхле, максимальний член μ ( σ , F ) = max { | a n | e σ λ n : n ≥ 0 } та центральний індекс ν ( σ , F ) = max { n ≥ 0 : | a n | e σ λ n = μ ( σ , F ) } якого визначені для всіх σ < A . Доведено, що якщо ln μ ( σ , F ) ≤ ( 1 + o ( 1 ) ) Φ ( σ ) , σ ↑ A , то виконуються нерівності ¯¯¯¯¯¯¯¯ lim σ ↑ A

μ ( σ , F ′ ) μ ( σ , F ) ¯¯¯¯ Φ − 1 ( σ ) ≤ 1 , ¯¯¯¯¯¯¯¯ lim σ ↑ A

λ ν ( σ , F ′ ) Γ − 1 ( σ ) ≤ 1 , і ці нерівності є точними.