Ряди Пуанкаре алгебр спільних інваріантів та коваріантів n квадратичних форм

Abstract

Ми розглядаємо одну з фундаментальних проблем класичної теорії інваріантів - дослідження ряду Пуанкаре алгебр інваріантів групи Лі SL2 Відомо, що перші доданки розкладу ряду Пуанкаре в ряд Лорана в околі точки z=1 несуть важливу інформацію про структуру цієї алгебри. Для алгебри d=C[Vd]SL2 інваріантів однієї бінарної форми вони були обчисленні ще Гільбертом (тут Vd -комплексний d+1− вимірний векторний простір бінарних форм степеня d). Пізніше цей же результат отримав Спрінгер, використовуючи явну формулу для ряду Пуанкаре алгебри d Розглядається аналогічна задача для алгебр спільних інваріантів 2n=C[V2V2V2n times]SL2 та спільних коваріантів 2n=C[V2V2V2n timesC2]SL2 n квадратичних форм. Ми виразили ряди Пуанкаре (2nz)=j=0dim(2n)jzj та (2nz)=j=0dim(2n)jzj цих алгебр через поліноми Нараяна. Також ми обчислили степені цих алгебр та асиптотичну поведінку цих степенів, використовуючи ці ряди Пуанкаре.