Про подібність матриць AB і BA над полем

Abstract

Нехай A і B -- nn матриці над полем. Вивчення зв'язків між добутками матриць AB BA має давню історію. Загально відомо, що матриці AB та BA мають однакові характеристичні многочлени (отже, власні значення, сліди тощо). Один вагомий результат був отриманий Х. Фландрерсом у 1951 році. Він вказав зв'язок між елементарними дільниками AB та BA, який можна розглядати як критерій, коли дві матриці C і D можуть бути зображені у вигляді добутків C=AB і D=BA. Якщо одна з матриць (A або B) є неособливою, то матриці AB і BA подібні. Якщо ж A і B особливі матриці, то матриці AB і BA не завжди подібні. В статті наведено умови, за яких матриці AB і BA подібні. Поняття рангу відіграє важливу роль у цих дослідженнях.