Про узагальнення одного рівняння Шаха

Abstract

Ряд Діріхле F ( s ) = e h s + ∑ ∞ k = 2 f k e s λ k з показниками 0 < h < λ k ↑ + ∞ і абсцисою абсолютної збіжності σ a [ F ] ≥ 0 називається псевдозірковим порядку α ∈ [ 0 , h ) і типу β ∈ ( 0 , 1 ] в Π 0 = { s : Re s < 0 } , якщо ∣ ∣ ∣ F ′ ( s ) F ( s ) − h ∣ ∣ ∣ < β ∣ ∣ ∣ F ′ ( s ) F ( s ) − ( 2 α − h ) ∣ ∣ ∣ для всіх s ∈ Π 0 . Аналогічно, функція F називається псевдоопуклою порядку α ∈ [ 0 , h ) і типу type β ∈ ( 0 , 1 ] , якщо ∣ ∣ ∣ F ′′ ( s ) F ′ ( s ) − h ∣ ∣ ∣ < β ∣ ∣ ∣ F ′′ ( s ) F ′ ( s ) − ( 2 α − h ) ∣ ∣ ∣ для всіх s ∈ Π 0 , а F називається близькою до псевдоопуклої, якщо існує така псевдоопукла (з α = 0 і β = 1 ) функція Ψ , що Re { F ′ ( s ) / Ψ ′ ( s ) } > 0 в Π 0 .

Знайдено умови на параметри a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 , c 2 , за яких диференціальне рівняння d n w d s n + ( a 1 e h s + a 2 ) d w d s + ( b 1 e h s + b 2 ) w = c 1 e h s + c 2 , n ≥ 2 , має цілий розв'язок, псевдозірковий, або псевдоопуклий порядку α ∈ [ 0 , h ) і типу β ∈ ( 0 , 1 ] , або близький до псевдоопуклого в Π 0 . Доведено, що для такого розв'язку ln M ( σ , F ) = ( 1 + o ( 1 ) ) n n √ | b 1 | h e h σ / n при σ → + ∞ , де M ( σ , F ) = sup { | F ( σ + i t ) | : t ∈ R } .