Відносне зростання цілої функції та інтегральної лічильної функцiї її нулів

Abstract

Нехай ( ζ n )

− комплексна послідовність така, що 0 < | ζ 1 | ≤ | ζ 2 | ≤ … і ζ n → ∞ ,

n → ∞ , N ( r )

− усереднена лічильна функція цієї послідовності, а α

− додатна, неперервна, зростаюча до + ∞ на R функція, для якої α ( r ) = o ( ln ( N ( r ) / ln r ) ) , r → + ∞ . Доведено, що для кожної множини E ⊂ ( 1 , + ∞ ) , яка задовольняє оцінку ∫ E r α ( r ) d r = + ∞ , існує ціла функція f з нулями в точках ζ n і лише в них (з урахуванням кратності), для якої правильне співвідношення lim ––––

r ∈ E ,

r → + ∞

ln ln M ( r ) ln r ln ( N ( r ) / ln r ) = 0 , де M ( r )

− максимум модуля функції f . Показано також, що наведене співвідношення є в певному сенсі остаточним.