Функція Гріна одного класу вироджених параболічних рівнянь другого порядку

Abstract

У статті розглянуто новий клас рівнянь, що узагальнюють рівняння дифузії з інерцією. Цей клас рівнянь має три групи змінних за якими є виродження параболічності, крім того при похідних нижчого порядку коефіцієнти спеціальним чином зростають, лише в початку координат рівняння стає рівнянням теплопровідності. Побудовано, зокрема,функцію Гріна для лінійного виродженого параболічного рівняння типу дифузії з інерцією, коефіцієнти якого в параболічній частині залежать від параметрів. Розглянуто об’ємний потенціал від згортки функції Гріна з абсолютно інтегровною функцією, що задовольняє умову Гельдера. Доведено, що всі похідні існують при умові гель-деровості функції, хоча в оцінках по 𝑡𝑡і вироджених змінних порядку 𝑡𝑡−3/2,𝑡𝑡−5/2,𝑡𝑡−7/2 встановлено існування всіх похідних, що входять у рівняння. Доведено оцінки всіх похідних. Коефіцієнти рівняння непере-рвні, обмежені в смузі 0≤𝑡𝑡0<𝑡𝑡 ≤𝑇𝑇,𝑥𝑥 ∈𝑅𝑅4𝑛𝑛,𝑛𝑛∈𝑁𝑁та задовольняють умову Гельдера з показником 0<𝛼𝛼 ≤1. Методом Леві побудовано функцію Гріна для рівняння із змінними коефіцієнтами в невиродженій параболічній частині рівняння. Доведено існування та неперервність всіх похідних, що входять у рівняння. Встановлено оцінки похідних фундаментального розв’язку та їхню гельдеровість по всіх змінних.