Про безумовно збіжні ряди в топологічних кільцях

Abstract

Ми будемо називати топологічне кільце R кільцем Гірша, якщо для будь-яких безумовно збіжного ряду ∑ n ∈ ω x i в R і околу U нуля 0 кільця R існує такий окіл V ⊆ R нуля 0 , що ∑ n ∈ F a n x n ∈ U для будь-яких скінченної множини F ⊂ ω та послідовності ( a n ) n ∈ F ∈ V F . Ми розпізнаємо кільця Гірша серед певних відомих класів топологiчних кілець. Для цього ми впроваджуємо та розвиваємо техніку напівнорм на актогрупах. Ми доводимо, зокрема, що топологічне кільце R є кільцем Гірша, якщо R є локально компактним або R має базу в нулі, котра складається з вiдкритих ідеалів або R є замкненим підкільцем банахового кільця C ( K ) , де K є компактним хаусдорофовим простором. З цього випливає, що банахове кiльце ℓ ∞ i його підкільця c 0 i c є кільцями Гірша. Використовуючи новий результат Банаха та Кадеця, ми доводимо, що для довільного дійсного числа p ≥ 1 комутативне банахове кільце ℓ p є кільцем Гірша тоді і тільки тоді, коли p ≤ 2 . Також для кожного p ∈ ( 1 , ∞ ) (некомутативне) банахове кiльце L ( ℓ p ) неперервних ендоморфізмів банахового кiльця ℓ p не є кільцем Гірша.